微生一微積分

§1.2	Elementary Functions(基本函數)
	1.2.5 Exponential Functions(指數函數)

		定義 : 指數函數
		一個指數函數是具有f (x)= a^x形式的函數, 其中a 為底數(base)是一個不為1的正數(a>0, a≠1).
		指數函數最大可能的定義域為實數R .

			從圖形上我們得知f (x)= 2^x是一個上升很快的函數; 反之, (1/3)^x是下降很快的函數. 當底數a 大於1時 a^x上升很快, 稱為指數型成長(exponential growth). 當底數a 小於1時 a^x下降很快,稱為指數型衰減(exponential decay).
		指數函數之性質:
			註: 1. a⁰ = 1 2. , k是正整數
		以 e = 2.718... 為底數的指數函數記為 exp(x)=e^x ,稱之為自然指數函數(natural exponential function) .

		例題 9: (Exponential Growth)
		無性生殖的細菌自我分裂(在複製基因物質之後), 從母細胞產生兩個子細胞,
		這樣的分裂每20分鐘進行一次, 因此在理想的環境下, 繁殖後細菌的數量為
		開始分裂當時的兩倍.
		令N(t)表示在時間t 細菌的數量, 則在t+1時 N(t+1)=2N(t)
		N(t)=2^t, t=0, 1, 2, 3 ... 是N(t+1)=2N(t)這個方程式的一個解, 因為N(t+1)=2^t+1=22^t=2N(t), N(t)=2^t, t=0, 1, 2, 3 ... 是一個定義域為{0, 1, 2, ... }的指數型成長函數, 當 t越來越大N(t)也越來越大.
		N(t)=C2^t, C是一個常數, 也是N(t+1)=2N(t)的一個解, 因為N(t+1)=C2^t+1=C22^t=2C2^t=2N(t),
		假設當 t=0, N(0)=40, 則C=40 , N(t)=40 2^t, 即N(t)=N(0)2^t=N₀2^t(將N(0)記為N₀)

		例題 10: (Radioactive Decay)
		不穩定的化學同位元素由高位能原子核釋放能量(放出質子, 中子或電子), 進而衰變為其他元素
		(稱為子元素)和粒子. 其衰減速率是穩定不變的, 不受環境影響. 這種現象稱為放射性衰減.
		由於這項知識, 科學家能計算出含有原始放射性元素的化石或礦物在何時形成. 以岩石的放射性
		衰變為準則, 地質學家便能斷定岩石以及地球各岩層的絕對年齡. 這項技術被稱為放射性定年法.

		放射性碳十四(C¹⁴)在大氣中的蘊藏量頗豐富, 與碳十二(C¹²)維持一定的比率. 當植物還活著的時候,
		進行光合作用吸收CO₂產生碳化合物, 會由大氣中得到C¹⁴, 因此植物組織內碳十四的含量與碳十二
		會維持相對的平衡 . 但是, 當植物死亡後, 組織內的放射性碳十四便開始減少, 既然衰變的速率不受
		外在環境影響, 碳十四在特定樣本中消失的速率, 應該就只和它在該樣本中的時間長短有關, 因此,
		科學家藉著測量樣本中碳十四的相對量, 就能斷定該樣本的年齡.
		假設C¹⁴在時間t 的數量為W(t), 且W(0)=W₀ . 依照衰減的公式W(t)=W₀e^-λt , λ是衰減速率令半衰期(half-life)時間為 T_h, 則
			如果C¹⁴的半衰期時間為5730年, 則在t =2000, C¹⁴的量為何? 解:


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